sábado, 25 de abril de 2009

Conceptos

GRAFOS

Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices.
Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.

La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo.

Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.

Aristas

Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos.
Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une.

Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.

· Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
· Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo.
· Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.
· Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.

Vértices

Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo.

Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado.
· Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
· Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
· Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.

Caminos

Sean x, y Î V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso
- x e y se llaman los extremos del camino
- El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.
- Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.
- Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.
- Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.
- Llamaremos ciclo a un circuito simple
- Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Realidad de la teoría de grafos

ABSTRACT


Graph theory is applied in fields as diverse as social sciences, linguistics, physical sciences, engineering communication, etc. Plays an important role in the science of switching, switching and logic design, artificial intelligence, formal languages, computer graphics, operating systems, compiler writing, organization and information retrieval. Are used to model problems. The construction of a model is essentially a process of deciding what features or aspects of a problem or application of real world to be represented for analysis or study. Good models ignore details irrelevant for the purpose of the study
CUERPO
CLASIFICACIÓN DE GRAFOS
Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

Teniendo

G1 = (V1, A1)
V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

G2 = (V2, A2)
V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}

G3 = (V3, A3)
V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1,>, <2,>, <2,> }

Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:



Algunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuación:

1. Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular

1. Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es

3. Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn

A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6

4. Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

1. Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.


2. Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

3. Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de los cinco sólidos regulares (Sólidos Platónicos), a saber, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

BIBLIOGRAFÍA

http://teoriadegrafos.blogspot.com/2007/03/definicin-de-grafo.html

http://pdf.rincondelvago.com/grafos.html

http://pisis.unalmed.edu.co/cursos/material/3004597/1/Mod10.pdf

wikipedia

Ejemplos


Ejemplo1: El grafo representado a continuación, se obtiene a partir del conjunto de vértices

V={v1, v2,v3, v4, v5} y de la relación R es subconjunto de V x V, tal que, {(v1, v2)(v2, v3)(v4, v5)(v1, v4)(v2, v4) (v4, v4)(v2, v5)(v2, v3)} .


Una línea de la forma (u,u) la denominaremos lazo o bucle y una línea del tipo (u,v) con u distinto de v (uRv) la llamaremos línea simple. En cambio, cuando tengamos varias líneas que tengan como vértices terminales u y v, diremos que son líneas múltiples.

Observación: Las líneas (v2, v3) y (v3, v2) de la figura anterior son líneas múltiples y la línea (v4, v4) de la misma figura es un lazo.

En algunos casos es conveniente considerar grafos dirigidos en los cuales es necesario distinguir el sentido en que van las líneas, por medio de flechas.

Ejemplo2:



Este grafo se representa por:

G1 = (V(G1), E(G1))
V(G1) = {1, 2, 3, 4}
E(G1) = {(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)}

G1 es un grafo NO DIRIGIDO. Esto es que los pares de puntos (1,2) y (2,1) representan la misma línea. Es decir, si el vértice 1 está conectado con el vértice 2, entonces el vértice 2 está conectado con el vértice 1.

Ahora bien, si tenemos el siguiente grafo:


Este grafo, sin embargo, se representa por:
G2 = (V(G2), E(G2))
V(G2) = (1,2,3)
E(G2) = ( (1,2) (2,1) (2,3) )
Aquí se repiten las conexiones de 1 con 2 porque este, como se ve, es un grafo DIRIGIDO. En este tipo de grafos si 1 está conectado con 2, no necesariamente 2 está conectado con 1.
Esto es lo que la mayoría de los autores denominan multigrafo. Sin embargo, nos dedicaremos a estudiar un tipo particular de grafos denominados grafos simples o matemáticos, que son aquellos grafos que no poseen orientación, ni líneas múltiples, ni lazos.
Usaremos la notación utilizada por F. Harary, denotaremos la cardinalidad del conjunto de vértices de un grafo simple como V(G)= p y la cardinalidad del conjunto de líneas del grafo como E(G) = q.

Explicación

La Teoría de Grafos sirve como un modelo matemático para estructuras en cualquier campo. Pero una de su más importante área de aplicación es la ciencia de la computación. Estos modelos son aplicados especialmente en lenguajes de computación, circuitos lógicos, redes e interconexión de redes para procesadores paralelos, inteligencia artificial entre otros